Theorie en Definities

Laatste wijzigingen: 14 februari 2013

Om de juiste parameter te achterhalen is het goed aansluiten van een meetinstrument niet voldoende.
Zeer belangrijk is de vraag: Met welk doel doe ik de meting?
Het meten van een stroom om de warmteontwikkeling in een draad te achterhalen vereist een andere parameter dan een stroommeting om de ladingstoestand van een condensator te bepalen.

Parameters kunnen worden uitgedrukt als een gemiddelde, RMS, momentele, piekwaarde. Niet alleen de belastingsvorm is bepalend, maar ook of dit een AC of DC bron betreft, en hoe de spanning- en stroomvorm eruit ziet.
Op de nauw verbonden wisselwerking tussen spanning en stroom enerzijds en vermogen en energie anderzijds wordt ingegaan op deze pagina.

Momentele waarden

De momentele spanning u, stroom i en vermogen p heeft een waarde dat hoort bij één bepaald tijdstip t. Een bepaalde golfvorm heeft een oneindig aantal momentele waarden. Zo'n golfvorm wordt beschreven als de parameter als functie van de tijd. In het geval van een spanning wordt dit geschreven als u(t).
In het voorbeeld hieronder de situatie van een serieschakeling van een weerstand en een spoel aangesloten op een sinusvormige spanning met een topspanning van 3 V en een frequentie f van 50 Hz.

spanning, stroom en vermogen als functie van de tijd — Fig. 1: Spanning, stroom en vermogen als functie van de tijd.

De sinusvormige spanning als functie van de tijd wordt als volgt beschreven:
[equ. 1]
De stroom heeft een top van 2 A en is 60° verschoven ten opzichte van de spanning:
[equ. 2]
Het vermogen als functie van de tijd is het resultaat van alle bij elkaar horende producten van momentele spanningen en stromen:
[equ. 3]

In de grafiek staan als voorbeeld de momentele spanning u, stroom i en vermogen p op tijdstip t aangegeven. Op t = 4,2 ms horen de volgende momentele waarden:
  u(4,2 ms) = 2,906 V
  i(4,2 ms) = 0,538 A
  p(4,2 ms) = 1,563 W
De momentele spanningen en stromen mogen te allen tijde met elkaar vermenigvuldigd worden om het momentele vermogen te berekenen.

Gemiddelde waarden

De gemiddelde waarde is een zeer belangrijke parameter in de elektronica. Universeelmeters in de DC-stand meten deze gemiddelde spanning of stroom. Ook de gemiddelde van een wisselspanning wordt bepaald. Bij een symmetrische wisselspanning zal de meter 0 V aangeven.

Spanning en stroom

De gemiddelde waarde is in wezen niets anders dan een optelling van alle producten van de momentele waarden x en het oneindig kleine moment dt gedeeld door de periode waarover gemeten is T. Deze optelling met oneindig kleine tijdstapjes noemt men integreren. In algemene vorm geschreven:
[equ. 4]
Voor x kan hier bijvoorbeeld de spanning of stroom worden ingevuld. Voor spanning ziet dit er als volgt uit:
[equ. 5]

Voor de uitleg van definities is de integraal een belangrijk onderdeel. Wie hier minder bekend mee is kan hier een korte uitleg vinden.

Multimeter

spanning middelen met RC-filter — Fig. 2: Een RC-filter middelt de spanning.

Een universeelmeter in het DC-bereik meet de gemiddelde waarde van de spanning of stroom. Bij digitale meters komt dit gemiddelde tot stand door middel van een RC-filter. Hiermee wordt het ingangssignaal continu gemiddeld over de de RC-tijd. In formulevorm:
Ugem RC-filter [equ. 6]

Energie en vermogen

Vergelijking 3 liet zien dat het product van de momentele spanning en stroom het momentele vermogen oplevert. Als deze momentele vermogens p(t) vermenigvuldigt met de oneindig kleine tijd dt continu worden gesommeerd levert dit de energie op die in het systeem gestopt sinds t = 0 s:
[equ. 7]
Immers, energie is het vermogen maal de tijd: E = P·t. En energie pakketjes mogen bij elkaar worden opgeteld om de totale energie te berekenen.

Hieronder zijn nogmaals de signalen weergegeven uit de spoel-weerstand serieschakeling voorbeeld zoals besproken bij de "momentele waarden". In deze figuur is in zwart het energieverloop in de tijd weergegeven zoals deze met vergelijking 7 is berekend.

energie als functie van de tijd — Fig. 3: Energie als functie van de tijd.

Ten gevolge van de wisselspanning en stroom heeft de vermogenscurve ook een periodiek wisselend karakter met dubbele frequentie. Omdat energie in de weerstand wordt verstookt is het grijs ingekleurde positieve oppervlak van de vermogenscurve groter dan het negatieve oppervlak.
De waarde van de zwarte energielijn op een bepaald moment is gelijk aan het voorafgaande oppervlak onder de vermogenscurve. Duidelijk is te zien dat de energie lijn periodiek meer stijgt dan daalt ten gevolge van de amplitude asymmetrie van de vermogenscurve rond de x-as.

In figuur 3 is de periodetijd T aangegeven. De energie die in deze tijd (0 s ... T) in het systeem wordt gestopt is aangegeven met E_per en wordt als volgt berekend:
[equ. 8]
Het vermogen over een periode is gelijk aan de totale hoeveelheid energie gedeeld door de tijd waarover deze gemeten is:
[equ. 9]
Deze deling door de tijd kan worden toegevoegd in de berekening van de totale energie (equ. 8) om het gemiddelde vermogen te berekenen:
[equ. 10]
Deze vergelijking komt overeen met de algemene vergelijking voor het berekenen van het gemiddelde (equ. 4). Het vermogen dat werkzaam is is altijd het gemiddelde vermogen.

Deze vergelijking om het gemiddelde gedissipeerde vermogen te berekenen is altijd geldig omdat de berekening berust op momentele waarden. Het maakt hierbij niet uit of dit gelijk- of wisselspanning(stroom) is, wat de spanning- en stroomvorm is, en of er tussen spanning en stroom een faseverschuiving bestaat.

De bovenstaande berekening om het gemiddelde vermogen te berekenen is de methode waarop de werking van een echte wattmeter berust. Een energiemeter zoals de kilowattuurmeter in de meterkast werkt volgens vergelijking 8, of anders geschreven:
[equ. 11]
De bovenste limiet van de integraal T is het moment waarop de energiemeter wordt afgelezen.

RMS waarden

De RMS of effectieve waarde is een waarde voor een spanning of stroom die een even groot vermogen in een weerstand dissipeerd als een gelijkstroom met dezelfde waarde.
Een wisselspanning met een effectieve waarde van 230 V ontwikkeld dus evenveel warmte in een weerstand als een zuivere gelijkspanning van 230 V. De RMS-waarde heeft dus alleen betrekking op de warmte ontwikkeling in een ohmse belasting. Als voorbeeld: De RMS-stroom is bruikbaar om de belasting van een kabel (= ohms) te controleren, maar niet om de laadstroom van een accu of condensator te meten (elektronenstroom).

Root Mean Square

RMS staat voor Root Mean Square. De spanning (of stroom) als functie van de tijd gaat achtereenvolgens drie wiskundige bewerkingen, kwadrateren, middelen en worteltrekken, om de RMS-waarde te berekenen. Waarom deze bewerkingen plaats moeten vinden wordt hieronder uiteengezet:

Welk vermogen een spanning dissipeerd in een weerstand is te berekenen met:
[equ. 12]
Voor het momentele vermogen van een willekeurige spanningsvorm kan dit ook berekend worden:
[equ. 13]
Hoe het gemiddelde vermogen van een spanning als functie van de tijd is te berekenen was al getoond met vergelijking 10. Voor p(t) kan de bovenstaande vergelijking (equ. 13) worden ingevuld:
gemiddeld vermogen [equ. 14]
Omdat de weerstand R een constante is, kan deze naar voren worden gebracht:
[equ. 15]
Brengt men de spanning uit vergelijking 12 voor het = teken dan kan de spanning uit het gemiddelde vermogen en de weerstand berekend worden:
[equ. 16]
Vullen we de gemiddelde berekening van vergelijking 15 in de bovenstaande vergelijking: RMS spanning [equ. 17]
De beide weerstanden R in de noemer en deler kunnen tegen elkaar worden weggestreept. Dit levert de berekening op die de RMS-waarde berekend uit een willekeurige spanning als functie van de tijd:
[equ. 18]
Duidelijk is te zien dat de vergelijking bestaat uit drie delen: kwadrateren u(t)², middelen, en worteltrekken.

Dit voorbeeld is gegeven met spanningen. Voor stromen geldt eenzelfde verhaal. De RMS-stroom wordt berekend als:
RMS stroom [equ. 19]

schema RMS bewerking — Fig. 4: Schematische voorstelling van de RMS bewerking.

De meeste multimeters kunnen niet de RMS-waarde berekenen uit de aangeboden spanning. Om de RMS-waarde te achterhalen is meestal een speciaal instrument nodig.
Het schema in figuur 4 laat zien hoe bij een RMS-meter de ingangsspanning de vereiste bewerkingen ondergaat. Een RMS-meter in de praktijk volgt een iets andere bewerkingsmethode waarmee één vermenigvuldiger wordt uitgespaard. Het is juist de vermenigvuldiger die een lage offset en temperatuurdrift moet bezitten dat deze instrumenten duur maakt.
De meeste digitale oscilloscopen kunnen ook de RMS-waarde berekenen, zij doen deze berekening geheel softwarematig.

Quasi RMS

De meeste multimeters meten in de AC-stand niet de RMS-waarde. Toch geven ze bij het aanbieden van een sinusvormige wisselspanning de effectieve waarde aan.
Een eenvoudige multimeter richt het te meten signaal eerst gelijk. Vervolgens wordt met een RC laagdoorlaatfilter de gemiddelde waarde van dit gelijkgerichte signaal bepaald. Deze gemiddelde waarde is voor sinusvormige signalen een factor 1,11 lager dan de effectieve waarde. Een multimeter in het AC-bereik berekend zijn aanwijzing door de middeling van de absolute waarden van de momentele spanningen vermenigvuldigd met een factor 1,11:
[equ. 20]
De aanwijzing van en multimeter in het AC-bereik is alleen juist bij sinusvormige signalen. Bij andere signaalvormen klopt de aanwijzing niet meer doordat deze een andere vormfactor hebben dan 1,11.

RMS vermogen?

Vooral in audiokringen wordt kwistig gestrooid met de term "RMS-vermogen" ofwel P_RMS. Dit is per definitie een foutieve term.

Zoals bij het hoofdstuk "Gemiddelde waarden" onder het kopje "Energie en vermogen" is te zien dat het werkzaam vermogen berekend wordt uit de totale hoeveelheid energie gedeeld door de tijd waarover deze energie gemeten is (vergelijking 9). De totale energie wordt bepaalt door alle momentele energie pakketjes u(t) * i(t) * dt te sommeren (vergelijking 11). Dit is de enige juiste manier om het werkzaam vermogen te berekenen.

Zoals eerder uitgelegd is de RMS waarde een equivalent voor een DC-spanning of stroom die een gelijk vermogen ontwikkeld in eenzelfde weerstand. Hiervoor wordt de wortel uit de gemiddelde van de momentele spanningen (of stromen) in het kwadraat berekend. Er is geen enkele reden te bedenken waarom deze drie wiskundige bewerkingen op het momentele vermogen zou moeten worden toegepast. Dit zou een onzinnige waarde opleveren.
RMS vermogen [equ. 21]

berekening van het vermogen op verschillende manieren — Fig. 5: Berekening van het vermogen.

Ter illustratie een berekening aan de hand van een sinusvormige spanning met een amplitude van 2 Vtt en een frequentie van 1 kHz.
Boven de grafiek staan de definities: De belastingsweerstand R is 4 Ω. Als functie van de tijd worden berekend: de sinusvormige spanning u(t), de stroom i(t) en het vermogen p(t).

In de grafiek zijn de spanning en de stroom weergegeven.

Als eerste wordt de RMS-spanning berekend aan de hand van de spanning als functie van de tijd u(t). De uitkomst is gelijk aan de wel bekende vergelijking:

De tweede vergelijking berekend de RMS-stroom met de stroom als functie van de tijd i(t). Dit is gelijk aan:

Vervolgens wordt aan de hand van de RMS spanning- en stroomwaarden met drie methodes het actief vermogen berekend: U_RMS*I_RMS, U_RMS²/R en I_RMS²*R. Ter controle wordt met een vierde berekening het gemiddelde vermogen bepaald aan de hand van het vermogen als functie van de tijd p(t). Al deze berekeningen leveren dezelfde waarde voor het actief vermogen.
Onderaan staat de berekening die het RMS-vermogen berekend. De uitkomst hiervan (0,153 W) wijkt flink af van de vier bovenstaande berekeningen (0,125 W).

Het bovenstaande voorbeeld is uitgevoerd aan de hand van een sinusvormige spanning en stroom. Maar de spanning- en stroomvorm alsmede de belastingsoort en eventuele faseverschuiving zijn van ondergeschikt belang.
Het werkzaam vermogen is altijd het gemiddelde vermogen. RMS-vermogen is een onzin getal.